Многогранники. Виды многогранников и их свойства. Правильные многогранники Многогранники и их основные свойства
Трёхгранные и многогранные углы:
Трёхгранным углом называется фигура
образованная тремя плоскостями, ограниченными тремя лучами, исходящими из
одной точки и не лежащей в одной
плоскости.
Рассмотрим какой-нибудь плоский
многоугольник и точку лежащую вне
плоскости этого многоугольника.
Проведём из этой точки лучи,
проходящие через вершины
многоугольника. Мы получим фигуру,
которая называется многогранным
углом.
ограниченная тремя плоскими углами с общей
вершиной
и
попарно
общими
сторонами,
не
лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих
углов
называется
вершиной
трёхгранного
угла.
Стороны углов называются рёбрами, плоские углы
при вершине трёхгранного угла называются его
гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла
образует двугранный уголОсновные свойства трехгранного угла
1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы
двух других его плоских углов.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - плоские углы,
A, B, C - двугранные углы, составленные плоскостями
углов β и γ, α и γ, α и β.
2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше
360 градусов
3. Первая теорема косинусов
для трёхгранного угла
4. Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла,
5. Теорема синусов
Многогранный угол, внутренняя область которого
расположена по одну сторону от плоскости каждой из
его граней, называется выпуклым многогранным
углом. В противном случае многогранный угол
называется невыпуклым. Многогранник- это тело, поверхность
которого состоит из конечного числа
плоских многоугольников.Элементы многогранника
Грани многогранника - это
многоугольники, которые его
образуют.
Ребра многогранника - это стороны
многоугольников.
Вершины многогранника - это
вершины многоугольника.
Диагональ многогранника - это
отрезок, соединяющий 2 вершины,
не принадлежащие одной грани.Многогранники
выпуклый
невыпуклый Многогранник называется выпуклым,
если он расположен по одну сторону
плоскости каждого многоугольника на его
поверхности.
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклойфигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и
соединяющий их отрезок.
На рисунке приведены примеры
выпуклого
и
невыпуклого
многогранных углов.
Теорема. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Многогранник угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой,т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий
их отрезок.
Куб, параллелепипед, треугольные призма и пирамида являются выпуклыми
многогранниками.
На рисунке приведены примеры выпуклой и невыпуклой пирамиды.
СВОЙСТВО 1
Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являютсявыпуклыми многоугольниками.
Действительно, пусть F - какая-нибудь грань многогранника
M, и точки A, B принадлежат грани F. Из условия выпуклости
многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится
в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости
многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом
многоугольнике, т. е. F - выпуклый многоугольник.
СВОЙСТВО 2
Свойство 2. Всякий выпуклый многогранник может быть составлен изпирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность
многогранника.
Действительно, пусть M - выпуклый многогранник. Возьмем какую-нибудь
внутреннюю точку S многогранника M, т. е. такую его точку, которая не
принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с
вершинами многогранника M отрезками. Заметим, что в силу выпуклости
многогранника M, все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с
вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти
пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M.
Правильные многогранники
Если грани многогранника являютсяправильными многоугольниками с одним и
тем же числом сторон и в каждой вершине
многогранника сходится одно и то же число
ребер, то выпуклый многогранник
называется правильным.
Названия многогранников
пришли из Древней Греции,в них указывается число граней:
«эдра» грань;
«тетра» 4;
«гекса» 6;
«окта» 8;
«икоса» 20;
«додека» 12.
Правильный тетраэдр
Рис. 1Составлен из четырёх
равносторонних
треугольников. Каждая
его вершина является
вершиной трёх
треугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине равна
180º.Правильный октаэдр
Рис. 2
Составлен из восьми
равносторонних
треугольников. Каждая
вершина октаэдра
является вершиной
четырёх треугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине 240º.Правильный икосаэдр
Рис. 3
Составлен из двадцати
равносторонних
треугольников. Каждая
вершина икосаэдра
является вершиной пяти
треугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине равна
300º.
Куб (гексаэдр)
Рис.4
Составлен из шести
квадратов. Каждая
вершина куба является
вершиной трёх квадратов.
Следовательно, сумма
плоских углов при каждой
вершине равна 270º.Правильный додекаэдр
Рис. 5
Составлен из двенадцати
правильных
пятиугольников. Каждая
вершина додекаэдра
является вершиной трёх
правильных
пятиугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине равна
324º.Таблица № 1
Правильный
многогранник
Число
граней
вершин
рёбер
Тетраэдр
4
4
6
Куб
6
8
12
Октаэдр
8
6
12
Додекаэдр
12
20
30
Икосаэдр
20
12
30Формула Эйлера
Сумма числа граней и вершин любого
многогранника
равна числу рёбер, увеличенному на 2.
Г+В=Р+2
Число граней плюс число вершин минус число
рёбер
в любом многограннике равно 2.
Г+В Р=2Таблица № 2
Число
Правильный
многогранник
Тетраэдр
граней и
вершин
(Г + В)
рёбер
(Р)
4+4=8
6
«тетра» 4;
Куб
6 + 8 = 14
12
«гекса»
6;
Октаэдр
8 + 6 = 14
12
«окта»
Додекаэдр
12 + 20 = 32
30
додека»
12.
30
«икоса»
20
Икосаэдр
20 + 12 = 32
8
Двойственность правильных многогранников
Гексаэдр (куб) и октаэдр образуютдвойственную пару многогранников. Число
граней одного многогранника равно числу
вершин другого и наоборот.Возьмем любой куб и рассмотрим многогранник с
вершинами в центрах его граней. Как нетрудно
убедиться, получим октаэдр.Центры граней октаэдра служат вершинами куба.Многогранники в природе, химии и биологии
Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников.
Кристалл
пирита-
природная
модель
додекаэдр.
Кристаллы
поваренной
соли передают
форму куб.
Монокристалл
Сурьменистый
Хрусталь
алюминиевосернокислый
(призма)
калиевых квасцов натрий – тетраэдра.
имеет форму
октаэдра.
В молекуле
метана имеет
форму
правильного
тетраэдра.
Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы
вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы
установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет
под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один
многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.
В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем
октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец,
самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет
собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра!Многогранники в искусстве
«Портрет Монны Лизы»
Композиция рисунка основана на золотых
треугольниках, являющихся частями
правильного звездчатого пятиугольника.
гравюра «Меланхолия»
На переднем плане картины
изображен додекаэдр.
«Тайная Вечеря»
Христос со своими учениками изображён на
фоне огромного прозрачного додекаэдр.Многогранники в архитектуре
Музеи Плодов
Музеи Плодов в Яманаши создан с помощью
трехмерного моделирования.
Пирамиды
Александрийский маяк
Спасская башня
Кремля.
Четырехъярусная Спасская башня с церковью Спаса
Нерукотворного - главный въезд в Казанский кремль.
Возведена в XVI веке псковскими зодчими Иваном
Ширяем и Постником Яковлевым по прозванию
«Барма». Четыре яруса башни представляют из себя
куб, многогранники и пирамиду.
Это такое тело, поверхность которого состоит из конечной числа плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым
, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой из плоских многоугольников на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многоугольника называется гранью
.
На рисунке ниже слева изображен неопуклий многогранник; на рисунке справа - выпуклый.
Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника , а вершины граней - вершинами многогранника .
Призма
Призмой
называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (см. рисунок). Многоугольники называются основаниями призмы
, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины - боковыми ребрами призмы
.Обозначения: .
Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов. Каждый из них имеет две стороны, которые являются соответствующими сторонами основания, а две другие - смежными боковыми ребрами. Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях. Боковые ребра призмы параллельны и равны. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований.
Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы . (На рисунке - высота, и диагонали.)
Диагональные сечения - это сечения призмы плоскостями, проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани (см. рисунки).
Призма называется прямой , если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям. В противном случае призма называется наклонной .
Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, высота прямой призмы равна боковому ребру, диагональные сечения являются прямоугольниками.
Боковой поверхностью призмы называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.
Теорема 1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания и высоты, то есть длины бокового ребра.
Перпендикулярным сечением призмы будем называть сечение плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы (а это значит, что эта плоскость является перпендикулярной всех боковых ребер призмы).
Теорема 2. Боковая поверхность наклонной призмы равна произведению длины бокового ребра и периметра перпендикулярного сечения.
На рисунке - перпендикулярное сечение.
S б = H ⋅ P осн;
S п = S б + 2S осн.
S б = l ⋅ P тэр;
S п = S б + 2S осн.
Очевидно, что эта теорема верна и в случае прямой призмы, потому что тогда перпендикулярное сечение будет сечением плоскостью, параллельной плоскостям оснований призмы.
Обратите внимание: если некоторый многоугольник является перпендикулярным сечением призмы, то его внутренние углы являются линейными углами двугранных углов между соответствующими боковыми гранями.
В случае прямой призмы линейными углами двугранных углов между боковыми гранями являются непосредственно углы основания.
Пример
На рисунке - прямая призма.
- линейный угол двугранного угла между гранями и .
Призма называется правильной , если:
в основе ее лежит правильный многоугольник;
призма является прямой.
Параллелепипед
Собой параллелепипед называется призма, в основании которой лежит параллелограмм.Все грани параллелепипеда - параллелограммы.
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противоположными .
Теорема 1. Противоположные грани параллелепипеда являются параллельными и ровными.
Параллелепипед остается собой параллелепипед во всех случаях, когда за его основу считаем любую его грань (см. рисунок).
Теорема 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Из этого следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
Обратите внимание: у прямого параллелепипеда имеются четыре диагонали, которые попарно равны друг другу.
На рисунке ; .
Это следует из свойств наклонных, так - равные перпендикуляры к плоскости основания ABCD.
Если две диагонали прямого параллелепипеда выходящие из соседних вершин, то большая из них та, которая проектируется в большую диагональ основания, то есть такую диагональ параллелограмма, которая лежит против тупого угла. Следовательно, если на приведенном выше рисунке считать угол ABC тупой, получим , .
Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным собой параллелепипед (см. рисунок).
Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники, которые можно разбить на три пары равных между собой. Произвольную грань прямоугольного параллелепипеда можно считать его основой. Учитывая, что при параллельном проектировании произвольный параллелограмм может изображаться произвольным параллелограммом, изображение прямоугольного параллелепипеда никак не отличается от изображения любого прямого параллелепипеда.
Длины непараллельных ребер называются линейными размерами (измерениями) прямоугольного параллелепипеда.
Теорема 3. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны. Квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда являются прямыми.
Прямоугольный параллелепипед имеет три пары равных между собой диагональных сечений. Каждый из этих сечений является прямоугольником (см. рисунки).
Каждая пара сечений пересекаются по прямой, проходящей через точки пересечения диагоналей противоположных граней. Отрезки между этими точками являются параллельными и равны одному из ребер прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольным треугольник, который образуется диагональю прямоугольного параллелепипеда, диагональю боковой грани и стороной основания (см. рисунок). Например, .
Прямоугольный параллелепипед имеет центр симметрии - это точка пересечения его диагоналей.
Он также имеет три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно граням.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом .
Плоскость любого диагонального сечения куба является его плоскостью симметрии. Таким образом, куб имеет девять плоскостей симметрии.
На рисунке рассмотрим взаимное расположение некоторых элементов прямого параллелепипеда:
- угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания ( - перпендикуляр, - наклонная, СD - проекция).
- угол между диагональю прямого параллелепипеда и плоскостью основания ( - перпендикуляр, - наклонная, АС - проекция).
- угол наклона диагонали к боковой грани (AD - перпендикуляр, - наклонная, - проекция).
Пусть - прямой параллелепипед (см. рисунок), где ABCD - ромб. Проведем его сечение плоскостью, проходящей через диагональ основания BD и вершину .
В сечении получим равнобедренный треугольник .
- линейный угол двугранного угла между плоскостями основания и сечения. по свойству диагоналей ромба, - перпендикуляр, - наклонная, СО - проекция. По теореме о трех перпендикуляры: .
Пирамида
Пирамидой
называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника - основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания - вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами
.Высота пирамиды - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Пирамида называетсяn -угольной , если ее основанием является n -угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром . Боковая грань пирамиды - треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противоположной стороной - сторона основания пирамиды.
На рисунке SO - высота пирамиды. Тогда - угол между боковым ребром и плоскостью основания (SO - перпендикуляр, SА - наклонная, ОА - проекция).
Из основания высоты пирамиды (точки В ) проведем перпендикуляр на сторону основания (например, АЕ ). Основание этого перпендикуляра (точка F ) соединим с вершиной пирамиды (точка S ). По теореме о трех перпендикуляры: . (SO - перпендикуляр, SP - наклонная, OF - проекция, по построению.) Следовательно, - линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ASE и плоскостью основания.
Для решения задач о пирамиде очень важно выяснять, где размещена основа ее высоты.
1. Если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
все боковые ребра пирамиды равны;
все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом;
все боковые ребра образуют одинаковые углы с высотой пирамиды;
все боковые ребра равноудалены от основания высоты, то основанием высоты пирамиды является центр окружности, описанной вокруг основания пирамиды.
Боковое ребро l , высота H и радиус R описанной вокруг основания окружности образуют прямоугольный треугольник:
В этом случае боковую поверхность можно найти по формуле , где l - длина бокового ребра, , ... - плоские углы при вершине.
2. Если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом;
все боковые грани имеют одинаковые высоты;
высоты боковых граней образуют одинаковые углы с высотой пирамиды;
боковые грани равноудалены от основания высоты, - то основание высоты лежит в центре круга, вписанного в основание пирамиды.
На рисунке - прямоугольный , - радиус вписанной окружности в ABCDEF ;
- высота пирамиды, SP - высота боковой грани;
- линейный угол двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания;
О - центр вписанного в основание круга, то есть точка пересечения биссектрис ABCDEF .
В этом случае .
3. Если боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания, то это ребро является высотой пирамиды (см. рисунки).
В этом случае и - углы наклона боковых ребер SВ и SС соответственно к плоскости основания. является линейным углом двугранного угла между боковыми гранями SAC и SBA .
4. Если боковая грань перпендикулярна плоскости основания (см. рисунок), то высотой пирамиды будет высота этой грани (по теореме «Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна к прямой их пересечения, то она перпендикулярна второй плоскости»).
5. Если две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, то высотой пирамиды является их общее боковое ребро.
Расстояния от основания высоты пирамиды
Расстояние от основания высоты пирамиды до бокового ребра - перпендикуляр, опущенный из точки О
на это ребро (см. рисунок). Обратите внимание: , но на рисунке не должен быть прямым: углы при параллельном проектировании не сохраняются.OF - расстояние от основания высоты до бокового ребра SE ;
ON - расстояние от основания высоты до боковой грани ASB (о это расстояние подробнее смотри ниже).
, где - угол между ребром SE и плоскостью основания.
Расстояние от основания высоты до боковой грани
Пусть , тогда по теореме о трех перпендикуляры. Следовательно, AB
перпендикулярна к плоскости SOK
. Отсюда, если , то ON
перпендикулярна к плоскости ASB
..
Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту. Боковые ребра правильной пирамиды равны, боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемою . Она является биссектрисой и медианой боковой грани, поскольку та является равнобедренным треугольником.
Теорема. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению півпериметра основания на апофему.
; ,
где Р - периметр основания, а - сторона основания, l - длина апофеми.
Правильная треугольная пирамида
В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник, который изображается произвольным треугольником (см. рисунок).
Центром является точка пересечения его биссектрис, которые одновременно являются высотами и медіанами. Медианы при параллельном проектировании изображаются медіанами. Поэтому строим две медианы основания. Точка их пересечения - основание высоты пирамиды. Изображаем высоту, а затем соединяем вершину пирамиды с вершинами основания. Получим боковые ребра.
На рисунке: - угол наклона бокового ребра к плоскости основания (одинаковый для всех ребер); - угол наклона боковой грани к плоскости основания (одинаковый для всех граней).
Пусть .
Тогда ; ; ;
; ; .
Следовательно, .
; .
Плоскость осевого сечения ASD является плоскостью симметрии правильной треугольной пирамиды.
Эта плоскость перпендикулярна к плоскости основания и плоскости грани BSC .
Интересно также отметить, что скрещивающиеся ребра пирамиды (SA и BC , SB и AC , SC и AB ) являются перпендикулярными. Если , то ON является расстоянием от основания высоты не только к анафеме, но и к боковой грани BSC .
.
Правильная четырехугольная пирамида
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, который изображается произвольным параллелограммом. Его центром является точка пересечения диагоналей. Эта точка - основание высоты пирамиды.
Пусть сторона квадрата а (см. рисунок).
Тогда ;
;
;
;
.
Обратите внимание: , , то есть .
При параллельном проектировании сохраняется параллельность.
; .
Расстояние от основания высоты до боковой грани:
; .
Правильная шестиугольная пирамида
В основе правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник (см. рисунок). Его центром является точка пересечения диагоналей. Эта точка - основание высоты пирамиды.
Тогда ;
Пусть сторона правильного шестиугольника а
.
;
;
.
; .
Усеченная пирамида
Срезанной пирамидой
называется многогранник, который останется, если от пирамиды отделить плоскостью, параллельной основе, пирамиду с той же вершиной.
Теорема. Плоскость, которая параллельна основе пирамиды и пересекает ее, отсекает подобную пирамиду.
Обратите внимание: чтобы правильно изобразить срезанную пирамиду, надо начинать с изображения исходной полной пирамиды (см. рисунок).
Основания усеченной пирамиды - подобные многоугольники. Боковые грани - трапеции. - высота усеченной пирамиды, - высота боковой грани, - угол наклона бокового ребра к плоскости основания (любой), - угол наклона боковой грани к плоскости нижнего основания.
Правильная усеченная пирамида
- это усеченная пирамида, которую достали из правильной пирамиды.
Ее боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Ее боковые грани равны рівнобічній трапеции и наклонены к плоскости нижнего основания под одним и тем же углом. Высоты боковых граней пирамиды называются апофемами
.
Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению половину суммы периметров оснований и апофеми.
, где P
н и P
- периметры соответствующих оснований, l
- апофема.
На рисунках изображены фигуры, которые бывает очень полезным рассмотреть при решении задач на срезанную пирамиду.
;
.
;
- прямоугольная трапеция.
- высота усеченной пирамиды.
-
высота боковой грани.
В случае, когда усеченная пирамида правильная, отрезки OD и являются радиусами описанной окружности, а OF и - радиусами вписанной окружности для нижней и верхней основы соответственно.
Правильные многогранники
Выпуклый многогранник называется правильным
, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника совпадает одно и то же число ребер.Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
1. У правильного тетраэдра грани - правильные треугольники; в каждой вершине совпадает по три ребра. Тетраэдр - треугольная пирамида, все ребра которой равны.
2. У куба все грани - квадраты; в каждой вершине совпадает по три ребра. Куб - прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
3. В октаэдра грани - правильные треугольники. В каждой его вершине совпадает по четыре ребра.
4. В додекаедра грани - правильные п"ятикутники. В каждой его вершине совпадает по три ребра.
5. В грани икосаэдра - правильные треугольники. В каждой его вершине совпадает по пять ребер.
На рисунках приведены примеры правильных многогранников с названиями.
Часть геометрии, которую мы изучали до сих пор, называется планиметрией - эта часть была о свойствах плоских геометрических фигур, то есть фигур, целиком расположенных в некоторой плоскости. Но окружающие нас предметы в большинстве не являются плоскими. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства.
Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией .
Если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела называются многогранниками .
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями . При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости.
Стороны граней называются рёбрами , а концы рёбер - вершинами многогранника.
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми .
Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке выпуклый многогранник - октаэдр. У октаэдра восемь граней, все грани - правильные треугольники.
На рисунке - невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Если рассмотреть, например, плоскость треугольника \(EDC\), то, очевидно, часть многоугольника находится по одну сторону, а часть - по другую сторону этой плоскости.
Для дальнейших определений введём понятие параллельных плоскостей и параллельных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.
Две плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.
Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Прямую называют перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости.
Призма
Теперь можем ввести определение призмы.
\(n\)-угольной призмой называют многогранник, составленный из двух равных \(n\)-угольников, лежащих в параллельных плоскостях, и \(n\)-параллелограммов, которые образовались при соединении вершин \(n\)-угольников отрезками параллельных прямых.
Равные \(n\)-угольники называют основаниями призмы.
Стороны многоугольников называют рёбрами оснований .
Параллелограммы называют боковыми гранями призмы.
Параллельные отрезки называют боковыми рёбрами призмы.
Призмы бывают прямыми и наклонными .
Если основания прямой призмы - правильные многоугольники, то такую призму называют правильной .
У прямых призм все боковые грани - прямоугольники. Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований.
Если из любой точки одного основания провести перпендикуляр к другому основанию призмы, то этот перпендикуляр называют высотой призмы.
На рисунке - наклонная четырёхугольная призма, в которой проведена высота B 1 E .
В прямой призме каждое из боковых рёбер является высотой призмы.
На рисунке - прямая треугольная призма. Все боковые грани - прямоугольники, любое боковое ребро можно называть высотой призмы. У треугольной призмы нет диагоналей, так как все вершины соединены рёбрами.
На рисунке - правильная четырёхугольная призма. Основания призмы - квадраты. Все диагонали правильной четырёхугольной призмы равны, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
Четырёхугольная призма, основания которой - параллелограммы, называется параллелепипедом .
Вышеупомянутую правильную четырёхугольную призму можно также называть прямым параллелепипедом .
Если основания прямого параллелепипеда - прямоугольники, то этот параллелепипед - прямоугольный .
На рисунке - прямоугольный параллелепипед. Длины трёх рёбер с общей вершиной называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Например, AB , AD и A A 1 можно называть измерениями.
Так как треугольники ABC и AC C 1 - прямоугольные, то, следовательно, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:
A C 1 2 = AB 2 + AD 2 + A A 1 2 .
Если через соответственные диагонали оснований провести сечение, получится то, что называют диагональным сечением призмы.
В прямых призмах диагональные сечения являются прямоугольниками. Через равные диагонали проходят равные диагональные сечения.
На рисунке - правильная шестиугольная призма, в которой проведены два разных диагональных сечения, которые проходят через диагонали с разными длинами.
Основные формулы для расчётов в прямых призмах
1. Боковая поверхность S бок. = P осн. ⋅ H , где \(H\) - высота призмы. Для наклонных призм площадь каждой боковой грани определяется отдельно.
2. Полная поверхность S полн. = 2 ⋅ S осн. + S бок. . Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.
3. Объём V = S осн. ⋅ H . Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.
Пирамида
\(n\)-угольная пирамида - многогранник, составленный из \(n\)-угольника в основании и \(n\)-треугольников, которые образовались при соединении точки вершины пирамиды со всеми вершинами многоугольника основания.
\(n\)-угольник называют основанием пирамиды.
Треугольники - боковые грани пирамиды.
Общая вершина треугольников - вершина пирамиды.
Рёбра, выходящие из вершины - боковые рёбра пирамиды.
Перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания называют высотой пирамиды.
Хотя стереометрию изучают только в старших классах школы, но с кубом, правильными пирамидами и другими простыми многогранниками знаком каждый школьник. Тема «Многогранники» имеет яркие приложения, в том числе в живописи и архитектуре. Кроме этого, в ней, по образному выражению академика Александрова, сочетаются «лёд и пламень», то есть живое воображение и строгая логика. Но в школьном курсе стереометрии мало времени уделяется правильным многогранникам. А ведь у многих правильные многогранники вызывают большой интерес, но нет возможности узнать о них больше на уроке. Именно поэтому я решила рассказать обо всех правильных многогранниках, имеющих разнообразные формы, и об их интересных свойствах.
Структура правильных многогранников очень удобна для изучения множества преобразований многогранника в себя (повороты, симметрии и т. д.). Получающиеся при этом группы преобразований (их называют группами симметрии) оказались весьма интересными с точки зрения теории конечных групп. Эта же симметричность позволила создать серию головоломок в виде правильных многогранника, начавшуюся «кубиком Рубиком» и «молдавской пирамидкой».
Для составления реферата использовался Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», из которого взята информация о том, что такое правильный многогранник, об их количестве, о построении всех правильных многогранников и описании всех поворотов, при которых многогранник совмещается со своим первоначальным положением. Из газеты «Математика» я получила интересные сведения о звёздчатых правильных многогранниках, их свойствах, открытии и их применении.
Теперь у вас есть возможность окунуться в мир правильного и великолепного, в мир прекрасного и необычайного, который привораживает наш взор.
1. Правильные многогранники
1. 1 Определение правильных многогранников.
Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многогранники и все многогранные углы равны.
Рассмотрим возможные правильные многогранники и, прежде всего те из них, гранями которых являются правильные треугольники. Наиболее простым таким правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники. В каждой её вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также правильным тетраэдром, или просто тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырёхгранник.
Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится четыре грани, его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому он называется октаэдром.
Многогранник, в каждой вершине которого сходиться пять правильных треугольников. Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников, поэтому он называется икосаэдром.
Заметим, что поскольку в вершинах выпуклого многогранника не может сходиться более пяти правильных треугольников, то других правильных многоугольников, гранями которых являются правильные треугольники, не существует.
Аналогично, поскольку в вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, то, кроме куба, других правильных многогранников, у которых гранями являются квадраты, не существует. Куб имеет шесть граней и поэтому также называется гексаэдром.
Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники и в каждой вершине сходятся три грани. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому он называется додекаэдром.
Из определения правильного многогранника следует, что правильный многогранник «совершенно симметричный»: если отметить какую-то грань Г и одну из её вершин А, то для любой другой грани Г1 и её вершины А1 можно совместить многогранник с самим собой движением в пространстве так, что грань Г совместится с Г1 и при этом вершина А попадает в точку А1.
1. 2. Историческая справка.
Пять перечисленных выше правильных многогранников, часто называемых также «телами Платона», захватили воображение математиков, мистиков и философов древности более двух тысяч лет назад. Древние греки даже установили мистическое соответствие между тетраэдром, кубом, октаэдром и икосаэдром и четырьмя природными началами – огнем, землей, воздухом и водой. Что касается пятого правильного многогранника, додекаэдра, то они рассматривали его как форму Вселенной. Эти идеи не являются одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два тысячелетия, многих привлекает лежащее в их основе эстетическое начало.
Первые четыре многогранника были известны задолго до Платона. Археологи нашли додекаэдр, изготовленный во времена этрусской цивилизации по крайней мере за 500 лет до н. э. Но, видимо, в школе Платона додекаэдр был открыт самостоятельно. Существует легенда об ученике Платона Гиппазе, погибшем в море потому, что он разгласил тайну о «шаре с двенадцатью пятиугольниками».
Со времен Платона и Евклида хорошо известно, что существует ровно пять типов правильных многогранников.
Докажем этот факт. Пусть все грани некоторого многогранника -правильные п-угольники и k - число граней, примыкающих к вершине (оно одинаково для всех вершин). Рассмотрим вершину А нашего многогранника. Пусть M1, М2,. , Mk - концы k выходящих из неё рёбер; поскольку двугранные углы при этих рёбрах равны, AM1M2Mk - правильная пирамида: при повороте на угол 360º/k вокруг высоты АН вершина М переходит в М, вершина M1 - в М2. Mk в M1 .
Сравним равнобедренные треугольники AM1M2 и HM1M2 У них основание общее, а боковая сторона AM1 больше HM1, поэтому M1AM2
Тетраэдр 3 3 4 4 6
Куб 4 3 8 6 12
Октаэдр 3 4 6 8 12
Додекаэдр 5 3 20 12 30
Икосаэдр 3 5 12 20 30
1. 3. Построение правильных многогранников.
Все соответствующие многогранники можно построить, взяв за основу куб.
Чтобы получить правильный тетраэдр, достаточно взять четыре несмежные вершины куба и отрезать от него пирамидки четырьмя плоскостями, каждая из которых проходит через три из взятых вершин
Такой тетраэдр можно вписать в куб двумя способами.
Пересечение двух таких правильных тетраэдров - это как раз правильный октаэдр: многогранник из восьми треугольников с вершинами, расположенными в центрах граней куба.
2. Свойства правильных многогранников.
2. 1. Сфера и правильные многогранники.
Вершины любого правильного многогранника лежат на сфере (что вряд ли вызовет удивление, если вспомнить, что вершины любого правильного многоугольника лежат на окружности). Помимо этой сферы, называемой «описанной сферой», имеются еще две важные сферы. Одна из них, «срединная сфера», проходит через середины всех ребер, а другая, «вписанная сфера», касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника.
Радиус описанной сферы Название многогранника Радиус вписанной сферы
Тетраэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
2. 1. Самосовмещения многогранников.
Какие самосовмещения (вращения, переводящие в себя) есть у куба, тетраэдра и октаэдра? Заметим, что некоторая точка-центр многогранника - при любом самосовмещении переходит в себя, так что все самосовмещения имеют общую неподвижную точку.
Посмотрим, какие вообще в пространстве бывают вращения с неподвижной точкой А. Покажем, что такое вращение обязательно является поворотом на некоторый угол вокруг некоторой прямой проходящей через точку А. Достаточно у нашего движения F(c F(A) = A) указать неподвижную прямую. Найти её можно так: рассмотрим три точки M1, M2 = F(M1) и M3 = F(M2), отличные от неподвижной точки А, проведём через них плоскость и опустим на неё перпендикуляр АН - это и будет искомая прямая. (Если М3 = М1, то наша прямая проходит через середину отрезка M1M2, a F - осевая симметрия: поворот на угол 180°).
Итак, самосовмещение многогранника обязательно является поворотом вокруг оси, проходящей через центр многогранника. Эта ось пересекает наш многогранник в вершине или во внутренней точке ребра или грани. Следовательно, наше самосовмещение переводит в себя вершину, ребро или грань, значит, оно переводит в себя вершину, середину ребра или центр грани. Вывод: движение куба, тетраэдра или октаэдра, совмещающее его с собой, есть вращение вокруг оси одного из трёх типов: центр многогранника - вершина, центр многогранника - середина ребра, центр многогранника - центр грани.
Вообще, если многогранник совмещается с самим собой при повороте вокруг прямой на угол 360°/m, то эту прямую называют осью симметрии m-го порядка.
2. 2. Движение и симметрии.
Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают.
Рассматривая самосовмещения многогранников, можно включить в их число не только вращения, но и любые движения, переводящие многогранник в себя. Здесь движение - это любое преобразование пространства, сохраняющее попарные расстояния между точками.
В число движений, кроме вращений, нужно включить и зеркальные движения. Среди них - симметрия относительно плоскости (отражение), а также композиция отражения относительно плоскости и поворота вокруг перпендикулярной ей прямой (это - общий вид зеркального движения, имеющего неподвижную точку). Конечно, такие движения нельзя реализовать непрерывным перемещением многогранника в пространстве.
Рассмотрим подробнее симметрии тетраэдра. Любая прямая, проходящая через любую вершину и центр тетраэдра, проходит через центр противоположной грани. Поворот на 120 или 240 градусов вокруг этой прямой принадлежит к числу симметрий тетраэдра. Так как у тетраэдра 4 вершины (и 4 грани), то мы получим всего 8 прямых симметрий. Любая прямая, проходящая через центр и середину ребра тетраэдра проходит через середину противоположного ребра. Поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг такой прямой также является симметрией. Так как у тетраэдра 3 пары ребер, мы получаем еще 3 прямые симметрии. Следовательно, общее число прямых симметрий, включая тождественное преобразование, доходит до 12. Можно показать, что других прямых симметрий не существует и что имеется 12 обратных симметрий. Таким образом, тетраэдр допускает всего 24 симметрии.
Прямые симметрии остальных правильных многогранников можно вычислить по формуле [(q - 1)N0 + N1 + (p - 1)N2]/2 + 1, где р-число сторон правильных многоугольников, являющихся гранями многогранника, q – число граней, примыкающих к каждой вершине, N0 – число вершин, N1 – число ребер и N2 – число граней каждого многогранника.
Гексаэдр и октаэдр имеют по 24 симметрии, а икосаэдр и додекаэдр– по 60 симметрий.
Все правильные многогранники имеют плоскости симметрии (у тетраэдра их - 6, у куба и октаэдра - по 9, у икосаэдра и додекаэдра - по 15).
2. 3. Звёздчатые многогранники.
Кроме правильных многогранников красивые формы имеют звёздчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 - 1630), а два других почти 200 лет спустя построил Л. Пуансо (1777 - 1859). Именно поэтому правильные звёздчатые многогранники называются телами Кеплера - Пуансо. Они получаются из правильных многогранников продолжением их граней или рёбер. Французский геометр Пуансо в 1810 году построил четыре правильных звёздчатых многогранника: малый звёздчатый додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр. У этих четырёх многогранников грани - пересекающиеся правильные многогранники, а у двух из них каждая из граней представляет собой самопересекающийся многоугольник. Но Пуансо не сумел доказать, что других правильных многогранников не существует.
Спустя год (в 1811г.) это сделал французский математик Огюстен Луи Коши (1789 - 1857). Он воспользовался тем, что согласно определению правильного многогранника, его можно наложить на самого себя так, что произвольная его грань совместится с наперёд выбранной. Из этого следует, что все грани звёздчатого многогранника равноудалены от некоторой точки-центра сферы, вписанной в многогранник.
Плоскости граней звёздчатого многогранника, пересекаясь, образуют ещё и правильный выпуклый многогранник, то есть платоново тело, описанное около той же сферы. Это платоново тело Коши назвал ядром данного звёздчатого многогранника. Тем самым звёздчатый многогранник можно получить, продолжая плоскости граней одного из платоновых тел.
Из тетраэдра, куба и октаэдра звёздчатые многогранники получить нельзя. Рассмотрим додекаэдр. Продолжение его рёбер приводит к замене каждой грани, звёздчатым правильным пятиугольником, а в результате получается малый звёздчатый додекаэдр.
На продолжении граней додекаэдра возможны следующие два случая: 1) если рассматривать правильные пятиугольники, то получается большой додекаэдр.
2) если же в качестве граней рассматривать звёздчатые пятиугольники, то получается большой звёздчатый додекаэдр.
Икосаэдр имеет одну звёздчатую форму. При продолжении грани правильного икосаэдра получается большой икосаэдр.
Таким образом, существует четыре типа правильных звёздчатых многогранников.
Звёздчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.
Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки – это звёздчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.
Заключение
В работе раскрыты следующие темы: правильные многогранники, построение правильных многогранников, самосовмещение, движение и симметрии, звёздчатые многогранники и их свойства. Мы узнали, что существует всего лишь пять правильных многогранника и четыре звёздчатых правильных многогранника, которые нашли широкое применение в различных областях.
Изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.
Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.
Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.
Структура правильных многогранников очень удобна для изучения множества преобразований многогранника в себя (повороты, симметрии и т. д.). Получающиеся при этом группы преобразований (их называют группами симметрии) оказались весьма интересными с точки зрения теории конечных групп. Эта же симметричность позволила создать серию головоломок в виде правильных многогранников, начавшуюся «кубиком Рубиком» и «молдавской пирамидкой».
Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
Цель урока:
- Ввести понятие правильных многогранников.
- Рассмотреть виды правильных многогранников.
- Решение задач.
- Привить интерес к предмету, научить видеть прекрасное в геометрических телах, развитие пространственного воображения.
- Межпредметные связи.
Наглядность: таблицы, модели.
Ход урока
I. Организационный момент. Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Изучение нового материала/
Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести “Правильные многогранники”. Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.
Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. “Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когда-то Л. Кэролл, – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.
Определение правильного многогранника.
Многогранник называется правильным, если:
- он выпуклый;
- все его грани – равные друг другу правильные многоугольники;
- в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер;
- все его двугранные углы равны.
Теорема: Существует пять различных (с точностью до подобия) типов правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр (куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр.
Таблица 1. Некоторые свойства правильных многогранников приведены в следующей таблице.
Вид грани | Плоский угол при вершине | Вид многогранного угла при вершине | Сумма плоских углов при вершине | В | Р | Г | Название многогранника |
Правильный треугольник | 60º | 3-гранный | 180º | 4 | 6 | 4 | Правильный тетраэдр |
Правильный треугольник | 60º | 4-гранный | 240º | 6 | 12 | 8 | Правильный октаэдр |
Правильный треугольник | 60º | 5-гранный | 300º | 12 | 30 | 20 | Правильный икосаэдр |
Квадрат | 90º | 3-гранный | 270º | 8 | 12 | 6 | Правильный гексаэдр (куб) |
Правильный треугольник | 108º | 3-гранный | 324º | 20 | 30 | 12 | Правильный додекаэдр |
Рассмотрим виды многогранников:
Правильный тетраэдр
<Рис. 1>
Правильный октаэдр
<Рис. 2>
Правильный икосаэдр
<Рис. 3>
Правильный гексаэдр (куб)
<Рис. 4>
Правильный додекаэдр
<Рис. 5>
Таблица 2. Формулы для нахождения объемов правильных многогранников.
Вид многогранника | Объем многогранника |
Правильный тетраэдр | |
Правильный октаэдр | |
Правильный икосаэдр | |
Правильный гексаэдр (куб) | |
Правильный додекаэдр |
“Платоновые тела”.
Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением “крыш” на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен – ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!
Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XII книга знаменитых начал Евклида. Эти многогранники часто называют так же платоновыми телами в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном. Четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр-огонь, куб-землю, икосаэдр-воду и октаэдр-воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание. Его по латыни стали называть quinta essentia (“пятая сущность”).
Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было не трудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб – монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KAlSO 4) 2 ·l2H 2 O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры 12 граней додекаэдра.
Где еще можно увидеть эти удивительные тела?
В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля “Красота форм в природе” можно прочитать такие строки: “Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы”. Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видны одноклеточные организмы – феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана эта природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.
Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет по теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ. Следующая задача проиллюстрирует эту мысль.
Задача. Модель молекулы метана CH 4 имеет форму правильного тетраэдра, в четырех вершинах которого находятся атомы водорода, а в центре – атом углерода. Определить угол связи между двумя CH связями.
<Рис. 6>
Решение. Так как правильный тетраэдр имеет шесть равных ребер, то можно подобрать такой куб, чтобы диагонали его граней были ребрами правильного тетраэдра. Центр куба является и центром тетраэдра, ведь четыре вершины тетраэдра являются и вершинами куба, а описываемая около них сфера однозначно определяется четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости.
Треугольник АОС – равнобедренный. Отсюда а – сторона куба, d – длина диагонали боковой грани или ребро тетраэдра. Итак, а = 54, 73561 0 и j = 109,47 0
Задача. В кубе из одной вершины (D) проведены диагонали граней DA, DB и DC и концы их соединены прямыми. Доказать, что многогранник DABC, образованный четырьмя плоскостями, проходящими через эти прямые, – правильный тетраэдр.
<Рис. 7>
Задача. Ребро куба равно a. Вычислить поверхность вписанного в него правильного октаэдра. Найти ее отношение к поверхности вписанного в тот же куб правильного тетраэдра.
<Рис. 8>
Обобщение понятия многогранника.
Многогранник – совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что:
- каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного (называемого смежным с первым) по этой стороне);
- от любого из многоугольников составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним и т.д.
Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а их вершины – вершинами многогранника.
Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник:
– если под многоугольником понимают плоские замкнуты ломаные (хотя бы и само пересекающиеся), то приходят к данному определению многогранника;
– если под многоугольником понимать часть плоскости, ограниченной ломанными, то с этой точки зрения под многогранником понимают поверхность, составленную из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое так же называют многогранником. От сюда возникает третья точка зрения на многогранники как на геометрические тела, при чем допускается также существование у этих тел “дырок”, ограниченных конечным числом плоских граней.
Простейшими примерами многогранников являются призмы и пирамиды.
Многогранник называется n- угольной пирамидой, если он имеет одной своей гранью (основанием) какой-либо n- угольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной, не лежащей в плоскости основания. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
Многогранник называется n -угольной призмой, если он имеет двумя своими гранями (основаниями) равные n -угольники (не лежащие в одной плоскости), получающиеся друг из друга параллельным переносом, а остальные грани – параллелограммы, противоположными сторонами которых являются соответственные стороны оснований.
Для всякого многогранника нулевого рода эйлерова характеристика (число вершин минус число ребер плюс число граней) равна двум; символически: В – Р + Г = 2 (теорема Эйлера). Для многогранника рода p справедливо соотношение В – Р + Г = 2 – 2p .
Выпуклым многогранником называется такой многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости любой его грани. Наиболее важны следующие выпуклые многогранники:
<Рис. 9>
- правильные многогранники (тела Платона) – такие выпуклые многогранники, все грани которых одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах правильные и равные <Рис. 9, № 1-5>;
- изогоны и изоэдры – выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны (изогоны) или равные все грани (изоэдры); причем группа поворотов (с отражениями) изогона (изоэдра) вокруг центра тяжести переводит любую его вершину (грань) в любую другую его вершину (грань). Полученные так многогранники называются полуправильными многогранниками (телами Архимеда) <Рис. 9, № 10-25>;
- параллелоэдры (выпуклые) – многогранники, рассматриваемые как тела, параллельным пересечением которых можно заполнить все бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т.е. образовывали разбиение пространства <Рис. 9, № 26-30>;
- Если под многоугольником понимать плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то можно указать еще 4 невыпуклых (звездчатых) правильных многогранников (тела Пуансо). В этих многогранниках либо грани пересекают друг друга, либо грани – самопересекающиеся многоугольники <Рис. 9, № 6-9>.
III. Задание на дом.
IV. Решение задач № 279, № 281.
V. Подведение итогов.
Список использованной литературы:
- “Математическая энциклопедия”, под редакцией И. М. Виноградова, издательство “Советская энциклопедия”, Москва, 1985 г. Том 4 стр. 552–553 Том 3, стр. 708–711.
- “Малая математическая энциклопедия”, Э. Фрид, И. Пастор, И. Рейман и др. издательство Академии наук Венгрии, Будапешт, 1976 г. Стр. 264–267.
- “Сборник задач по математики для поступающих в ВУЗы” в двух книгах, под редакцией М.И. Сканави, книга 2 – Геометрия, изд-во “Высшая школа”, Москва, 1998 г. Стр. 45–50.
- “Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов”, издательство “Высшая школа”, Москва, 1979 г. Стр. 388–395, стр. 405.
- “Повторяем математику” издание 2–6, доп., Учебное пособие для поступающих в ВУЗы, издательство “Высшая школа”, Москва, 1974 г. Стр. 446–447.
- Энциклопедический словарь юного математика, А. П. Савин, издательство “Педагогика”, Москва, 1989 г. Стр. 197–199.
- “Энциклопедия для детей. Т.П. Математика”, главный редактор М. Д. Аксенова ; метод, и отв. редактор В. А. Володин, издательство “Аванта+”, Москва, 2003 г. Стр. 338–340.
- Геометрия, 10–11: Учебник для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 10-е издание – М.: Просвещение, 2001. Стр. 68–71.
- “Квант” № 9, 11 – 1983, № 12 – 1987, № 11, 12 – 1988, № 6, 7, 8 – 1989. Научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР. Издательство “Наука”. Главная редакция физико-математической литературы. Стр. 5–9, 6–12, 7–9, 10, 4–8, 13, 16, 58.
- Решение задач повышенной сложности по геометрии: 11-й класс – М.: АРКТИ, 2002. Стр. 9, 19–20.